[Statistics / Bayesian] Bayesian Kernel Machine Regression(BKMR)

BKMR

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Bayesian kernel machine regression for estimating the health effects of multi-pollutant mixtures

1. BKMR이란?

BKMR은 여러 개의 노출 변수(Exposure)가 비선형적으로, 그리고 상호작용하면서 어떤 결과 변수(Outcome)에 영향을 줄 때 사용되는 회귀 모델입니다.

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💡등장배경

환경 역학이나 독성학에서는 여러 화학물질이 복잡적으로 건강에 미치는 영향을 알아보고자 합니다.

하지만.

• 변수 들 간의 상호작용이 존재. → 선형 회귀는 어려움.
• 모든 조합을 일일이 고려할 수 없음.
• 불확실성까지 보고싶음.

👉 이런 문제를 해결하고자 BKMR이 등장하였습니다.

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2. 수학적 모델 구조

BKMR의 기본 모델은 다음과 같습니다.

$$
y_i = h(z_i) + x_i^T\beta + \epsilon_i, \epsilon_i \sim N(0,\sigma^2)
$$

• $y_i$ : 종속변수 (ex. 건강 지표)
• $z_i$ : 관심 변수들 (ex. 화학물질 노출)
• $x_i$ : 조정 공변량 (ex. 나이, 성별, 흡연 여부 등)
• $h(\cdot)$ : 비선형 커널 함수로 표현되는 효과

👉 이 모델은 $h(z)$를 Gaussian Process 로 설정함으로써 매우 유연한 비선형 함수로 추정 가능합니다.

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3. GPR과의 관계

BKMR은 두 아이디어의 결합방법입니다.

1. $h(\cdot) \sim GP(0,K)$ : Gaussian Process 기반의 비선형 함수
2. 나머지 부분은 선형회귀

즉, GPR을 부분적으로 사용하여 일부 변수들만 비선형적으로 다루는 회귀 모델이라고 볼 수 있습니다.

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4. 커널 함수의 역할과 선택

BKMR의 핵심은 커널함수 $k(z_i, z_j)$를 어떻게 정의하느냐에 달려있습니다.

보통는 RBF Kernel을 많이 사용합니다:

$$
k(z_i,z_j) = \exp\bigg(-\dfrac{1}{\rho^2}|z_i-z_j|^2\bigg)
$$

• $\rho$ : Bandwidth parameter → MCMC로 샘플링
• $K$ : 이 커널을 모든 데이터 쌍에 대해서 계산하면 $n\times n$ 행렬

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5. 공변량 조정(Covariate adjustment)

$h(z)$는 커널로 모델링 되지만, $x$는 일반 선형 회귀처럼 모델링됩니다.

이 구조는 다음의 장점을 갖습니다.

• 해석 가능성 증가
• 선형 조정 효과 분리

👉 복잡한 비선형 효과는 $h$, 명확한 선형 효과는 $\beta$

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6. 추론 방식 : MCMC로 Posterior 추정

BKMR은 완전한 베이지안 모델이라서, 다음을 샘플링합니다.

• $h(\cdot)$ : GP로 표현된 Latent function
• $\rho, \sigma^2, \beta$ 등의 하이퍼파라미터

MCMC 방법은 Gibbs sampling과 Metropoliss-Hastings를 조합해서 추정합니다.

👉 계산량은 크지만, Posterior Distribution 전체를 얻을 수 있습니다!

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7. 변수 중요도와 상호작용 해석

BKMR이 강력한 이유는, 단순 예측이 아니라:

• Variable Importance(PIP : Posterior Inclusion Probabilty)
• Interaction Effect(2개 변수의 결합 영향 시각화)
• Overall Effect(노출 전체의 집합적 영향)

같은 해석을 가능하게 하기 때문입니다.

예를 들어

OverallRiskSummary(fit)
SingVarRiskSummary(fit, sel = 1)

등의 함수를 통해서 아래와 같은 결과를 확인할 수 있습니다.

• “변수 A는 건강에 얼마나 영향을 미치는 가”
• “A와 B는 시너지 효과를 내는가(상호작용이 있는가)”
• “모든 노출이 다 증가했을 때의 전체 효과는?”

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8. BKMR의 장단점

장점	단점
✅ 비선형 관계 추정	❌ 계산량 매우 큼(MCMC)
✅ 변수 간의 상호작용 가능	❌ 매우 큰 데이터에 부적합
✅ 베이지안 해석 가능	❌ Python 지원 X(R only)
✅ 변수 중요도, 불확실성 추정

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9. 예시

library(bkmr)

# outcome: Y (예: 건강지표)
# Z: 관심 변수들 (노출물질들)
# X: 공변량 (나이, 성별 등)

fit <- kmbayes(y = Y, Z = Z_matrix, X = X_matrix, iter = 10000)

summary(fit)

# 변수 영향력
SingVarRiskSummary(fit)

# 전체 효과
OverallRiskSummary(fit)

# 변수 간 상호작용
PredictorResponseBivar(fit, min.plot.dist = 0.2)

10. 관련 자료

• Introduction to BKMR
• bkmr R packages
• BKMR Guide

Bayesian Kernel Machine Regression (BKMR) Guide

 

bkmr: Bayesian Kernel Machine Regression

 

Introduction to Bayesian kernel machine regression and the bkmr R package